Случайната променлива е числово описание на резултата от статистически експеримент. Случайна променлива, която може да приема само крайно число или безкраен последователността на стойностите се казва дискретна; за този, който може да приеме каквато и да е стойност в някакъв интервал на реалната числова линия, се казва, че е непрекъснат. Например случайна променлива, представляваща броя на автомобилите, продадени в даден дилър за един ден, би била дискретна, докато случайна променлива, представляваща теглото на човек в килограми (или лири), ще бъде непрекъсната.
Разпределението на вероятностите за случайна променлива описва как вероятностите се разпределят върху стойностите на случайната променлива. За дискретна случайна променлива, х , разпределението на вероятностите се дефинира чрез функция на вероятностната маса, обозначена с е ( х ). Тази функция осигурява вероятността за всяка стойност на случайната променлива. При разработването на вероятностната функция за дискретна случайна величина трябва да бъдат изпълнени две условия: (1) е ( х ) трябва да е неотрицателно за всяка стойност на случайната променлива и (2) сумата от вероятностите за всяка стойност на случайната променлива трябва да бъде равна на една.
Непрекъснатата случайна променлива може да приеме всяка стойност в интервал на реалната числова линия или в колекция от интервали. Тъй като има безкраен брой стойности във всеки интервал, няма смисъл да се говори за вероятността случайната променлива да приеме определена стойност; вместо това се разглежда вероятността непрекъсната случайна променлива да лежи в рамките на даден интервал.
В непрекъснатия случай аналогът на функцията на вероятностната маса е функцията на плътността на вероятността, също обозначена с е ( х ). За непрекъсната случайна променлива функцията на плътността на вероятността осигурява височината или стойността на функцията при която и да е конкретна стойност от х ; той не дава пряко вероятността случайната променлива да приеме определена стойност. Площта под графиката на е ( х ), съответстващ на някакъв интервал, получен чрез изчисляване на интеграла на е ( х ) за този интервал, осигурява вероятността променливата да придобие стойност в рамките на този интервал. Функцията за плътност на вероятността трябва да отговаря на две изисквания: (1) е ( х ) трябва да е неотрицателно за всяка стойност на случайната променлива и (2) неразделна над всички стойности на случайната променлива трябва да е равна на една.
Очакваната стойност или средната стойност на случайна променлива - обозначена с Е ( х ) или μ — е претеглена средна стойност на стойностите, които случайната променлива може да приеме. В дискретния случай тежестите се дават от функцията на вероятностната маса, а в непрекъснатия случай тежестите се дават от функцията за плътност на вероятността. Формулите за изчисляване на очакваните стойности на дискретни и непрекъснати случайни променливи се дават съответно от уравнения 2 и 3.
Е ( х ) = Σ х е ( х ) (две)
Е ( х ) = ∫ х е ( х ) д х (3)
Дисперсията на случайна променлива, обозначена с Var ( х ) или σдве, е претеглена средна стойност на отклоненията в квадрат от средната стойност. В дискретния случай тежестите се дават от функцията на вероятностната маса, а в непрекъснатия случай тежестите се дават от функцията за плътност на вероятността. Формулите за изчисляване на дисперсиите на дискретни и непрекъснати случайни променливи са дадени съответно от уравнения 4 и 5. The стандартно отклонение , обозначен с σ, е положителният квадратен корен от дисперсията. Тъй като стандартното отклонение се измерва в същите единици като случайната променлива, а отклонението се измерва в квадратни единици, стандартното отклонение често е предпочитаната мярка.
Където( х ) = σдве= Σ ( х - μ)две е ( х ) (4)
Където( х ) = σдве= ∫ ( х - μ)две е ( х ) д х (5)
Две от най-често използваните дискретни разпределения на вероятностите са биномното и Поасоново. Биномиалната функция на вероятността маса (уравнение 6) предоставя вероятността, че х успехите ще се случат през н опити на биномен експеримент.
Биномният експеримент има четири свойства: (1) той се състои от последователност от н идентични изпитания; (2) за всеки опит са възможни два резултата, успех или неуспех; (3) обозначена вероятност за успех в което и да е изпитание стр , не се променя от опит в процес; и (4) опитите са независими. Да предположим например, че е известно, че 10 процента от собствениците на двегодишни автомобили са имали проблеми с електрическата система на автомобила си. За да се изчисли вероятността да се намерят точно 2 собственика, които са имали проблеми с електрическата система от група от 10 собственика, биномиалната функция на вероятността маса може да се използва чрез задаване н = 10, х = 2 и стр = 0,1 в уравнение 6; за този случай вероятността е 0,1937.
Разпределението на вероятността на Поасон често се използва като модел на броя на пристиганията в дадено съоръжение в рамките на даден период от време. Например случайна променлива може да бъде дефинирана като броя на телефонните обаждания, постъпващи в системата за резервация на авиокомпания за период от 15 минути. Ако е известен средният брой пристигания по време на 15-минутен интервал, функцията на масата на вероятността на Поасон, дадена от уравнение 7, може да се използва за изчисляване на вероятността за х пристигания.
Да предположим например, че средният брой обаждания, пристигащи за 15-минутен период, е 10. За да се изчисли вероятността 5 повиквания да влязат в рамките на следващите 15 минути, μ = 10 и х = 5 са заместени в уравнение 7, което дава вероятност от 0,0378.
Най-широко използваното непрекъснато разпределение на вероятностите в статистиката е нормалното разпределение на вероятностите. Графиката, съответстваща на нормална функция на плътността на вероятността със средна стойност на μ = 50 и стандартно отклонение от σ = 5, е показана вФигура 3. Както всички нормални графики на разпределение, това е крива във формата на камбана. Вероятностите за нормалното разпределение на вероятностите могат да бъдат изчислени с помощта на статистически таблици за стандартното нормално разпределение на вероятностите, което е нормално разпределение на вероятностите със средна стойност нула и стандартно отклонение единица. Използва се проста математическа формула за преобразуване на всяка стойност от нормално разпределение на вероятностите със средно μ и стандартно отклонение σ в съответна стойност за стандартно нормално разпределение. След това таблиците за стандартното нормално разпределение се използват за изчисляване на подходящите вероятности.
откъде са дошли великаните в Библията
нормално разпределение на вероятностите Фигура 3: Нормално разпределение на вероятностите със средна стойност ( μ ) от 50 и стандартно отклонение ( σ ) от 5. Encyclopædia Britannica, Inc.
Има много други дискретни и непрекъснати разпределения на вероятностите. Други широко използвани дискретни разпределения включват геометричното, хипергеометричното и отрицателното биномно; други често използвани непрекъснати разпределения включват еднородно, експоненциално, гама, хи-квадрат, бета, T и F.
Copyright © Всички Права Запазени | asayamind.com