Анри Поанкаре

Анри Поанкаре , изцяло Жул Анри Поанкаре , (роден на 29 април 1854 г., Нанси, Франция - починал на 17 юли 1912 г., Париж), френски математик, един от най-великите математици и математически физици в края на 19 век. Той направи поредица дълбоки иновации в геометрия , теорията на диференциалните уравнения, електромагнетизмът, топологията и философията на математиката.

Поанкаре е израснал в Нанси и е учил математика от 1873 до 1875 г. в Политехническата школа в Париж. Продължава обучението си в Минно училище в Кан, преди да получи докторат в Парижкия университет през 1879 г. Докато е студент, той открива нови видове сложни функции, които решават голямо разнообразие от диференциални уравнения. Тази основна работа включва едно от първите масови приложения на неевклидовата геометрия, предмет, открит от унгарския Янош Боляй и руския Николай Лобачевски около 1830 г., но неприет от математиците до 1860-те и 70-те години. Поанкаре публикува дълга поредица от статии за това произведение през 1880–1884 г., които ефективно направиха името му в международен мащаб. Изтъкнатият германски математик Феликс Клайн, само пет години по-възрастен от него, вече работеше в района и беше общоприето, че Поанкаре излиза по-добре от сравнението.

През 1880-те години Пуанкаре също започва работа върху криви, определени от определен тип диференциално уравнение, в което той е първият, който разглежда глобалния характер на кривите на решението и техните възможни особени точки (точки, където диференциалното уравнение не е правилно дефинирано). Той разследва такива въпроси като: Спиралите ли решенията в една или друга точка? Те, подобно на хиперболата, първо се приближават към дадена точка, а след това преминават покрай нея и се отдалечават от нея? Дали някои решения образуват затворени контури? Ако е така, кривите наблизо ли се завъртат към или от тези затворени контури? Той показа, че броят и видовете единични точки се определят чисто от топологичния характер на повърхността. По-специално, само върху тора диференциалните уравнения, които той обмисля, нямат особени точки.

Поанкаре е замислил тази предварителна работа да доведе до изучаването на по-сложните диференциални уравнения, които описват движението на Слънчевата система. През 1885 г. се появява допълнителен стимул за предприемане на следващата стъпка, когато Кинг Оскар II на Швеция предложи награда за всеки, който може да установи стабилността на Слънчевата система. Това би изисквало да се покаже, че уравненията на движението на планетите могат да бъдат решени и орбитите на планетите да бъдат криви, които остават в ограничена област от пространството за всички времена. Някои от най-великите математици след Исак Нютон се опитват да разрешат този проблем и Поанкаре скоро осъзнава, че не може да направи никакъв напредък, освен ако не се концентрира върху по-прост, специален случай, в който две масивни тела се въртят около себе си в кръгове около общите си център на тежестта докато минута трето тяло обикаля и двамата. Третото тяло се приема за толкова малко, че не засяга орбитите на по-големите. Поанкаре може да установи, че орбитата е стабилна, в смисъл, че малкото тяло се връща безкрайно често произволно близо до която и да е позиция, която е заемало. Това обаче не означава, че понякога не се отдалечава много, което би имало катастрофални последици за живота на Земята. За това и други постижения в своето есе, Поанкаре получава наградата през 1889 г. Но след като пише есето за публикуване, Поанкаре открива, че друг резултат в него е грешен, и като го прави правилно, открива, че движението може да бъде хаотично. Той се надяваше да покаже, че ако малкото тяло може да бъде изстреляно по такъв начин, че да пътува по затворена орбита, то стартирането му по почти същия начин ще доведе до орбита, която поне остава близо до първоначалната орбита. Вместо това той откри, че дори малки промени в първоначалните условия могат да доведат до големи, непредсказуеми промени в получената орбита. (Това явление сега е известно като патологична чувствителност към първоначалните позиции и е един от характерните признаци на хаотична система. Вижте сложност.) Поанкаре обобщава своите нови математически методи в астрономията през Нови методи на небесната механика , 3 об. (1892, 1893, 1899; Новите методи на небесната механика).

колко революционна беше американската революция

Поанкаре е бил воден от тази работа да съзерцава математически пространства (сега наричани многообразия), в които положението на точка се определя от няколко координати. За такива многообразия се знаеше много малко и въпреки че немският математик Бернхард Риман бяха им намекнали поколение или повече по-рано, малцина бяха приели намека. Поанкаре се зае със задачата и потърси начини, по които могат да бъдат разграничени такива многообразия, като по този начин се отвори целият предмет на топологията, известен тогава като аналитичен ситус. Риман беше показал, че в две измерения повърхностите могат да бъдат разграничени по техния род (броят на дупките в повърхността), а Енрико Бети в Италия и Валтер фон Дайк в Германия са разширили тази работа до три измерения, но много остава да се направи. Поанкаре отдели идеята за разглеждане на затворени криви в колектора, които не могат да се деформират една в друга. Например, всяка крива на повърхността на сфера може непрекъснато да се свива до точка, но има криви на торус (криви, увити около дупка, например), които не могат. Поанкаре попита дали триизмерното многообразие, в което всяка крива може да бъде свита до точка, е топологично еквивалентно на триизмерна сфера. Този проблем (сега известен като предположението на Поанкаре) се превърна в един от най-важните нерешени проблеми в алгебричната топология. По ирония на съдбата предположението е доказано за първи път за измерения, по-големи от три: в измерения пет и по-горе от Стивън Смейл през 60-те години и в измерение четири, в резултат на работата на Саймън Доналдсън и Майкъл Фрийдман през 80-те години. И накрая, Григори Перелман доказа предположението за три измерения през 2006 г. Всички тези постижения бяха отбелязани с награда за полеви медал. Поанкаре Анализ на сайта (1895) е ранно систематично лечение на топологията и той често е наричан бащата на алгебричната топология.

Основното постижение на Поанкаре в математическата физика е неговото магистърско третиране на електромагнитните теории на Херман фон Хелмхолц, Хайнрих Херц , и Хендрик Лоренц. Интересът му към тази тема - която, както той показа, изглежда противоречи на законите на механиката на Нютон - го накара да напише доклад през 1905 г. за движението на електрона. Този документ, както и други негови по това време, се доближи до очакването на откриването на Алберт Айнщайн на теорията за специалната относителност. Но Поанкаре никога не предприема решителната стъпка за преформулиране на традиционните концепции за пространство и време в пространство-време, което е най-дълбокото постижение на Айнщайн. Правени са опити за получаване на Нобелова награда през физика за Поанкаре, но работата му е твърде теоретична и недостатъчно експериментална за някои вкусове.

Около 1900 г. Поанкаре придобива навика да пише разкази за работата си под формата на есета и лекции за широката публика. Публикувано като Наука и хипотеза (1903; Наука и хипотеза ), Стойността на науката (1905; Стойността на науката ), и Наука и метод (1908; Наука и метод ), тези есета формират ядрото на репутацията му на философ на математиката и науката. Най-известното му твърдение в тази връзка е, че голяма част от науката е въпрос на конвенция. Той стигна до този възглед за мислене за същността на космоса: било евклидово или неевклидово? Той твърди, че човек никога не може да каже, тъй като не може логически да отдели физиката, която участва, от математиката, така че всеки избор ще бъде въпрос на конвенция. Поанкаре предполага, че човек естествено би избрал да работи с по-лесното хипотеза .

Философията на Поанкаре беше изцяло повлияна от психологизма. Винаги се интересуваше от това какво разбира човешкият ум, а не какво може да формализира. По този начин, въпреки че Поанкаре осъзнава, че евклидовата и неевклидовата геометрия са еднакво верни, той твърди, че нашият опит има и ще продължи да ни предразполага да формулираме физиката по отношение на евклидовата геометрия; Айнщайн му доказа, че греши. Поанкаре също смята, че нашето разбиране за естествените числа е вродено и следователно фундаментално, така че той беше критичен към опитите да се сведе цялата математика до символна логика (както се застъпва от Бертран Ръсел в Англия и Луис Кутура във Франция) и към опитите да се намали математиката да се аксиоматична теория на множествата . В тези вярвания той се оказа прав, както показва Курт Гьодел през 1931г.

В много отношения влиянието на Поанкаре беше необикновено. Всички теми, обсъдени по-горе, доведоха до създаването на нови клонове на математиката, които са все още силно активни и днес, и той също допринесе за голям брой по-технически резултати. И все пак влиянието му беше слабо. Той никога не е привличал група ученици около себе си и по-младото поколение френски математици, които се появяват, са склонни да го държат на уважително разстояние. Неуспехът му да оцени Айнщайн му помогна отпадат работата му по физика до неизвестност след революциите на специалната и общата теория на относителността. Неговото често неточно математическо изложение, маскирано от възхитителен прозаен стил, беше чуждо на поколението през 30-те години, което модернизира френската математика под колективна псевдоним на Никола Бурбаки и те се оказаха мощна сила. В неговата философия на математиката липсва технически аспект и дълбочина на разработките, вдъхновени от работата на немския математик Дейвид Хилберт. Въпреки това, си разнообразие и плодовитостта отново започна да се оказва привлекателна в свят, който определя повече място от приложимата математика и по-малко от систематичната теория.

Повечето от оригиналните статии на Поанкаре са публикувани в 11 тома на неговия Творби на Анри Поанкаре (1916–54). През 1992 г. Archives – Center d’Études et de Recherche Анри-Поанкаре, основан в Университета в Нанси 2, започва да редактира научната кореспонденция на Поанкаре, сигнализирайки за възраждане на интереса към него.