функция , в математиката, израз, правило или закон, който дефинира връзка между една променлива (независимата променлива) и друга променлива (зависимата променлива). Функциите са вездесъщ по математика и са от съществено значение за формулиране на физически взаимоотношения в науките. Съвременното определение на функцията е дадено за първи път през 1837 г. от немския математик Петер Дирихле:
Ако променлива Y. е толкова свързана с променлива х че всеки път, когато е присвоена числова стойност х , има правило, според което уникална стойност на Y. се определя, тогава Y. се казва, че е функция на независимата променлива х .
който е генерален секретар на uno
Тази връзка обикновено се символизира като Y. = е ( х ). В допълнение на е ( х ), други съкратени символи като ж ( х ) и P ( х ) често се използват за представяне на функции на независимата променлива х , особено когато естеството на функцията е неизвестно или неуточнено.
Много широко използвани математически формули са изрази на известни функции. Например формулата за площта на кръг, ДА СЕ = π r две, дава зависимата променлива ДА СЕ (площта) като функция на независимата променлива r (радиусът). Функциите, включващи повече от две променливи, също са често срещани в математиката, както може да се види във формулата за площта на триъгълник, ДА СЕ = б з / 2, което дефинира ДА СЕ като функция и на двете б (основа) и з (височина). В тези примери физическите ограничения принуждават независимите променливи да бъдат положителни числа. Когато на независимите променливи също е позволено да приемат отрицателни стойности - по този начин всяко реално число - функциите са известни като функции с реална стойност.
Формулата за площта на окръжност е пример за полиномиална функция. Общата форма за такива функции е P ( х ) = да се 0+ да се 1 х + да се две х две+ ⋯ + да се н х н ,където коефициентите ( да се 0, да се 1, да се две, ..., да се н ) са дадени, х може да бъде всяко реално число и всички правомощия на х броят числа (1, 2, 3, ...). (Когато правомощията на х може да бъде всяко реално число, резултатът е известен като алгебраична функция.) Полиномиалните функции са изучавани от най-ранните времена поради тяхната гъвкавост - практически всяка връзка, включваща реални числа, може да бъде приближена от полиномиална функция. Полиномиалните функции се характеризират с най-голямата степен на независимата променлива. Обикновено се използват специални имена за такива степени от едно до пет - линейни, квадратни, кубични, квартични и квинтични.
Полиномиалните функции могат да получат геометрично представяне посредством аналитична геометрия. Независимата променлива х се начертава по х -ос (хоризонтална линия) и зависимата променлива Y. се начертава по Y. -ос (вертикална линия). След това графиката на функцията се състои от точките с координати ( х , Y. ) където Y. = е ( х ). Например графиката на кубичното уравнение е ( х ) = х 3- 3 х + 2 е показано в.
защо съветският съюз нахлу в Афганистан
кубично уравнение График на кубичното уравнение е ( х ) = х 3- 3 х + 2. Нанесените точки са мястото, където настъпват промени в кривината. Енциклопедия Британика, Inc.
Друг често срещан тип функции, който се изучава от древността, са тригонометричните функции, като грях х и cos х , където х е мярката на ъгъл ( вижте ). Поради периодичния си характер тригонометричните функции често се използват за моделиране на поведение, което се повтаря или цикли. Неалгебричните функции, като експоненциални и тригонометрични функции, са известни още като трансцендентални функции.
графики на някои тригонометрични функции Имайте предвид, че всяка от тези функции е периодична. По този начин функциите на синус и косинус се повтарят на всеки 2π, а функциите на тангенс и котангенс се повтарят на всеки π. Енциклопедия Британика, Inc.
Практическите приложения на функции, чиито променливи са комплексни числа, не са толкова лесни за илюстриране, но въпреки това са много обширни. Те се срещат например в електротехниката и аеродинамиката. Ако сложната променлива е представена във формата с = х + i Y. , където i е въображаемата единица (квадратен корен от -1) и х и Y. са реални променливи ( вижте ), възможно е сложната функция да се раздели на реални и въображаеми части: е ( с ) = P ( х , Y. ) + i Въпрос: ( х , Y. ).
точка в комплексната равнина Точка в комплексната равнина. За разлика от реалните числа, които могат да бъдат разположени от единично подписано (положително или отрицателно) число по числова права, сложните числа изискват равнина с две оси, една ос за компонента на реалното число и една ос за въображаем компонент. Въпреки че комплексната равнина изглежда като обикновената двумерна равнина, където всяка точка се определя от подредена двойка реални числа ( х , Y. ), точката х + i Y. е едно число. Енциклопедия Британика, Inc.
Чрез размяна на ролите на независимите и зависимите променливи в дадена функция, човек може да получи обратна функция. Обратните функции правят това, което подсказва името им: те отменят действието на функция, за да върнат променлива в първоначалното й състояние. По този начин, ако за дадена функция е ( х ) съществува функция ж ( Y. ) такъв, че ж ( е ( х )) = х и е ( ж ( Y. )) = Y. , тогава ж се нарича обратна функция на е и като се има предвид нотацията е -1, където по конвенция променливите се обменят. Например функцията е ( х ) = 2 х има обратната функция е -1( х ) = х / две.
Функцията може да бъде дефинирана посредством степенна серия. Например безкрайните редове 
може да се използва за дефиниране на тези функции за всички сложни стойности на х . Други видове сериали и също безкраен продукти могат да се използват, когато е удобно. Важен случай е поредицата на Фурие, изразяваща функция по синуси и косинуси: 
от колко време продължи законът и редът
Такива представи са от голямо значение във физиката, особено при изучаването на движението на вълните и други трептящи явления.
Понякога функциите се определят най-удобно посредством диференциални уравнения. Например, Y. = без х е решението на диференциалното уравнение д две Y. / д х две+ Y. = 0 като Y. = 0, д Y. / д х = 1 когато х = 0; Y. = cos х е решението на същото уравнение, имащо Y. = 1, д Y. / д х = 0 когато х = 0.
