Смятане , клон на математиката, занимаващ се с изчисляването на моментни темпове на промяна ( диференциално смятане ) и сумирането на безкрайно много малки фактори за определяне на някакво цяло ( интегрално смятане ). Двама математици, Исак Нютон от Англия и Готфрид Вилхелм Лайбниц от Германия, споделят заслугата за това, че са разработили самостоятелно смятането през 17 век. Калкулацията сега е основната входна точка за всеки, който желае да учи физика , химия, биология, икономика, финанси или актюерска наука. Калкулацията дава възможност за решаване на проблеми като разнообразен като проследяване на позицията на a космическа совалка или предсказване на натиск изграждане зад язовир, когато водата се издига. Компютрите се превърнаха в ценен инструмент за решаване на проблеми с смятане, които някога се смятаха за невъзможно трудни.
Корените на смятането се крият в някои от най-старите геометрия записани проблеми. Египетският папирус Rhind ( ° С. 1650пр.н.е.) дава правила за намиране на площта на окръжност и обема на пресечена пирамида. Древногръцките геометри са изследвали намирането на допирателни към кривите център на тежестта на равнинни и твърди фигури и обемите на обектите, образувани чрез въртене на различни криви около фиксирана ос.
До 1635 г. италианският математик Бонавентура Кавалиери допълва строгите инструменти на гръцката геометрия с евристичен методи, използвали идеята за безкрайно малки сегменти от линии, площи и обеми. През 1637 г. френският математик-философ Рене Декарт публикува своето изобретение за аналитична геометрия за даване на алгебрични описания на геометрични фигури. Методът на Декарт, в комбинация с древна идея за криви, генерирани от движеща се точка, позволи на математици като Нютон да опишат движение алгебрично. Изведнъж геометрите могат да надхвърлят единичните случаи и ad hoc методите от предишните времена. Те можеха да видят модели на резултатите и така да предполагат нови резултати, че по-старият геометричен език беше скрил.
Например гръцкият геометър Архимед (287–212 / 211пр.н.е.) откри като изолиран резултат, че площта на отсечка от парабола е равна на определен триъгълник. Но с алгебрична нотация, в която парабола е написана като Y. = х две, Кавалиери и други геометри скоро отбелязаха, че площта между тази крива и х -ос от 0 до да се е да се 3/ 3 и че подобно правило важи и за кривата Y. = х 3—Именно, че съответната област е да се 4/ 4. Оттук не им беше трудно да се досетят, че общата формула за площта под крива Y. = х н е да се н +1/ ( н +1).
Проблемът с намирането на допирателни към криви е бил тясно свързан с важен проблем, възникнал вследствие на разследванията на движението на италианския учен Галилео Галилей, с намирането на скоростта във всеки един момент на частица, движеща се според някакъв закон. Галилей установи, че през T секунди свободно падащо тяло пада на разстояние ж T две/ 2, където ж е константа (по-късно интерпретирана от Нютон като гравитационна константа). С определянето на средната скорост като разстоянието за време, средната скорост на тялото за интервал от T да се T + з се дава от израза [ ж ( T + з )две/ 2 - ж T две/ две] / з . Това опростява до ж T + ж з / 2 и се нарича коефициент на разлика на функция ж T две/ 2. Като з приближава 0, тази формула се приближава ж T , което се тълкува като моментна скорост на падащо тяло в даден момент T .
колко чаши Стенли спечелиха пингвини
Този израз за движение е идентичен с този, получен за наклона на допирателна към параболата е ( T ) = Y. = ж T две/ 2 в точката T . В тази геометрична контекст , изразът ж T + ж з / 2 (или негов еквивалент [ е ( T + з ) - е ( T )] / з ) означава наклон на отсечена линия, свързваща точката ( T , е ( T )) до близката точка ( T + з , е ( T + з )) ( вижте ). В граница , с все по-малки интервали з , секционната линия се доближава до допирателната линия и нейния наклон в точката T .
Илюстрация на разликата между средните и моментните темпове на промяна Графиката на е ( T ) показва секундата между ( T , е ( T )) и ( T + з , е ( T + з )) и допирателната към е ( T ) в T . Като интервал от време з се приближава до нула, секантната (средна скорост) се доближава до допирателната (действителна или моментална скорост) при ( T , е ( T )). Енциклопедия Британика, Inc.
По този начин коефициентът на разликата може да се тълкува като моментна скорост или като наклон на допирателна към крива. Именно смятането установи тази дълбока връзка между геометрията и физиката - в процеса на преобразуване на физиката и даване на ново тласък към изучаването на геометрията.
какви са мерните единици джаули
Независимо Нютон и Лайбниц установяват прости правила за намиране на формулата за наклона на допирателната към крива във всяка точка от нея, като се дава само формула за кривата. Скоростта на промяна на дадена функция е (обозначено с е ′) Е известен като своя производно . Намирането на формулата на производната функция се нарича диференциация и правилата за това формират основата на диференциалното смятане. В зависимост от контекста производни могат да се интерпретират като наклони на допирателни линии, скорости на движещи се частици или други величини и в това се крие голямата сила на диференциалното смятане.
Важно приложение на диференциалното смятане е графирането на крива, като се има предвид нейното уравнение Y. = е ( х ). Това включва, по-специално, намиране на локални максимални и минимални точки на графиката, както и промени във флексията (изпъкнали до вдлъбнати или обратно). Когато изследват функция, използвана в математически модел, такива геометрични понятия имат физически интерпретации, които позволяват на учен или инженер бързо да придобият усещане за поведението на физическата система.
Другото голямо откритие на Нютон и Лайбниц е, че намирането на производни на функции е точно в обратна посока на проблема с намирането на области под криви - принцип, известен сега като фундаментална теорема за смятане . По-конкретно, Нютон откри, че ако съществува функция F ( T ), която обозначава площта под кривата Y. = е ( х ) от, да речем, 0 до T , тогава производната на тази функция ще се равнява на оригиналната крива през този интервал, F ′ ( T ) = е ( T ). Следователно, за да се намери площта под кривата Y. = х двеот 0 до T , достатъчно е да се намери функция F така че F ′ ( T ) = T две. Диференциалното смятане показва, че най-общата такава функция е х 3/ 3 + ° С , където ° С е произволна константа. Това се нарича (неопределен) интеграл на функцията Y. = х две, и се пише като ∫ х две д х . Първоначалният символ ∫ е удължен S, което означава сума и д х показва безкрайно малък прираст на променливата или оста, над който се сумира функцията. Лайбниц представи това, защото се сети интеграция като намиране на площ под крива чрез сумиране на площите на безкрайно много безкрайно тънки правоъгълници между х -ос и кривата. Нютон и Лайбниц откриха това интегриране е ( х ) е еквивалентно на решаване на диференциално уравнение - т.е., намиране на функция F ( T ) така че F ′ ( T ) = е ( T ). Във физически план решаването на това уравнение може да се тълкува като намиране на разстоянието F ( T ) пътуван от обект, чиято скорост има даден израз е ( T ).
Клонът на смятането, занимаващ се с изчисляване интеграли е неразделна смятане и сред многото му приложения са намирането на работа, извършена от физически системи, и изчисляване на налягането зад язовир на дадена дълбочина.
