Анализ , клон на математиката, който се занимава с непрекъсната промяна и с някои общи видове процеси, възникнали в резултат на изучаването на непрекъсната промяна, като граници, диференциация и интеграция . От откриването на диференциалното и интегрално смятане от Исак Нютон и Готфрид Вилхелм Лайбниц в края на 17-ти век, анализът прераства в огромна и централна област на математическите изследвания, с приложения в науките и в области като финанси, икономика и социология.
Историческият произход на анализа може да се намери в опитите за изчисляване на пространствени величини, като например дължината на извита линия или площта, затворена с крива. Тези проблеми могат да бъдат посочени чисто като въпроси на математическата техника, но те имат далеч по-голямо значение, тъй като притежават голямо разнообразие от интерпретации във физическия свят. Площта в кривата, например, е от пряк интерес за измерването на земята: колко акра съдържа парцел с неправилна форма? Но същата техника определя и масата на еднородния лист материал, ограничен от някаква избрана крива, или количеството боя, необходимо за покриване на повърхността с неправилна форма. По-малко очевидно е, че тези техники могат да се използват за намиране на общото изминато разстояние от превозно средство, движещо се с различна скорост, дълбочината, на която ще плава кораб, когато е поставен в морето, или общото гориво консумация на ракета.
По същия начин математическата техника за намиране на допирателна линия към крива в дадена точка може също да се използва за изчисляване на стръмността на извит хълм или ъгъла, през който движещата се лодка трябва да се обърне, за да се избегне сблъсък. По-малко пряко е свързано с изключително важния въпрос за изчисляването на моментната скорост или други моментни темпове на промяна, като охлаждане на топъл обект в студено помещение или размножаване на болестен организъм чрез човешка популация.
Тази статия започва с кратко въведение в историческия фон на анализа и в основни понятия като числови системи, функции, приемственост , безкрайни серии и граници, всички от които са необходими за разбиране на анализа. След това въведение е пълен технически преглед, от изчисление до нестандартен анализ, а след това статията завършва с пълна история.
къде беше 30-годишната война
Математиката разделя явленията на два широки класа, дискретни и непрекъснати, исторически съответстващи на разделението между аритметика и геометрия . Дискретни системи могат да бъдат подразделени само досега и могат да бъдат описани чрез цели числа 0, 1, 2, 3, .... Непрекъснатите системи могат да се подразделят за неопределено време и тяхното описание изисква реалните числа, числа, представени чрез десетични разширения като 3.14159 ..., вероятно продължаващи вечно. Разбиране на истинската същност на такива безкраен десетични знаци лежи в основата на анализа.
Разграничението между дискретна математика и непрекъсната математика е централен въпрос за математическото моделиране, изкуството да се представят характеристики на природния свят в математическа форма. Вселената не съдържа или се състои от действителни математически обекти, но много аспекти на Вселената наподобяват математически понятия. Например числото две не съществува като физически обект, но описва важна характеристика на такива неща като човешки близнаци и двоични звезди. По подобен начин реалните числа осигуряват задоволителни модели за различни явления, въпреки че никоя физическа величина не може да бъде измерена точно с повече от дузина или десетични знаци след десетичната запетая. За реалния свят не се прилагат стойностите на безкрайно много десетични знаци, а дедуктивните структури, които те въплъщават и позволяват.
Анализът възниква, защото много аспекти на природния свят могат изгодно да се считат за непрекъснати - поне до отлична степен на сближаване. Отново това е въпрос на моделиране, а не на реалност. Материята не е наистина непрекъсната; ако материята се подраздели на достатъчно малки парченца, тогава ще се появят неделими компоненти или атоми. Но атомите са изключително малки и за повечето приложения третират материята като че ли континуум въвежда незначителна грешка, като същевременно опростява изчисленията. Например непрекъснатото моделиране е стандартна инженерна практика при изучаване на потока от течности като въздух или вода, огъването на еластични материали, разпределението или потока на електрически ток и топлинния поток.
Две основни стъпки доведоха до създаването на анализ. Първото беше откриването на изненадващата връзка, известна като основната теорема за смятане, между пространствените проблеми, включващи изчисляването на някакъв общ размер или стойност, като дължина, площ или обем (интеграция), и проблеми, свързани със скоростта на промяна, като наклони на допирателни и скорости (диференциация). Заслугата за независимото откритие, около 1670 г., на основната теорема за смятане, заедно с изобретяването на техники за прилагане на тази теорема, се отдава съвместно на Готфрид Вилхелм Лайбниц и Исак Нютон.
Докато полезността на смятане при обяснението на физическите явления стана ясно веднага, използването му на безкрайност в изчисленията (чрез разлагане на криви, геометрични тела и физически движения на безкрайно много малки части) породи широко разпространено безпокойство. По-специално англиканският епископ Джордж Бъркли публикува известна брошура, Аналитикът; или, Дискурс, адресиран до невярващ математик (1734), посочвайки, че смятането - поне, както е представено от Нютон и Лайбниц - притежава сериозни логически недостатъци. Анализът е произлязъл от полученото старателно внимателно проучване на по-рано слабо дефинирани понятия като функция и лимит.
Подходът на Нютон и Лайбниц към смятането е бил предимно геометричен, включващ съотношения с почти нулеви делители - флуксиите на Нютон и безкрайните числа на Лайбниц. През 18-ти век смятането става все по-алгебрично като математици - най-вече швейцарецът Леонхард Ойлер и италианският френски Джоузеф-Луис Лагранж —Почна да обобщава концепциите за непрекъснатост и граници от геометрични криви и тела до по-абстрактни алгебрични функции и започна да разширява тези идеи до сложни числа. Въпреки че тези събития не бяха напълно задоволителни от фундаментална гледна точка, те бяха от основно значение за евентуалното усъвършенстване на строга основа за смятане от французина Огюстин-Луи Коши, бохемския Бернхард Болцано и преди всичко от германеца Карл Вайерщрас през 19 век.
Copyright © Всички Права Запазени | asayamind.com
